segunda-feira, 1 de novembro de 2010

Considerações Finais sobre o estágio de matemática no ensino médio

Valeu a pena

U
ma nova experiência, os mesmos sentimentos...
ma nova escola, a mesma receptividade e tratamento...
m novo desafio, as mesmas vitórias...
ma nova história, as mesmas conclusões...

            Esta nova etapa que conclui na minha trajetória acadêmica, muito se parece com aquela primeira experiência como regente de classe, a exatamente um ano atrás, quando realizei o estágio de matemática no ensino fundamental. Naquela época, objetivava estabelecer meu primeiro contato direto com a escola, com a sala de aula. Buscava respostas para as temidas e inquietantes perguntas que me fazia: “Será que realmente quero ser professor de matemática?”, “Será que este investimento valeu a pena?”, “Será que estou pronto para ser um educador?”.
            E as respostas vieram, repletas de esperança e sonhos, fortalecidas por muita dedicação neste projeto de vida. Agora, neste novo estágio, busquei a confirmação desta vocação, e posso dizer sem medo de errar, que nestes rápidos vinte e seis períodos em que estive envolvido, encontrei esta confirmação. O sentimento é o mesmo, adoro “dar aula”! Escolhi a profissão certa!
            No princípio pensei que seria difícil realizar o estágio em uma escola desconhecida, tendo em vista que o estágio anterior realizei na escola em que estudei por cinco anos (lá me sentia em casa). Porém com o passar do tempo, estabeleci relações bastante amistosas com os funcionários, e me adaptei ao estilo “Rural” de escola. Adquiri ao longo do estágio um respeito por parte da escola, pois viram em mim alguém com vontade de ensinar, mas também com uma enorme vontade de aprender.
            Com mais este estágio surgiram desafios novos, nova turma, novo nível de escolaridade, novo conteúdo e nova professora titular. Os desafios eram tão grandes quanto a minha vontade de vencer. Vencer no sentido de obter êxito, sucesso em mais uma jornada, onde para mim o importante era que marcas ficassem, que novos conhecimentos e experiências fossem adquiridos.
            Inicio minhas considerações sobre estes desafios, relatando sobre as metodologias de ensino adotadas neste estágio. Metodologicamente penso que fui extremamente exitoso, as aulas foram muito produtivas, e as atividades propostas à turma tiveram uma grande aceitação por parte dos alunos. Ao buscar ferramentas que sustentassem meu trabalho docente, encontrei na geometria fractal uma excelente estratégia para ensino das progressões geométricas. A riqueza de detalhes e de aspectos que a geometria fractal contém em seu universo infinito de formas e representações, encantou os alunos durante o estágio, que ficaram fascinados com a sua beleza. Além dos ganhos de utilizar esta ferramenta didática pude vivenciar momentos inesquecíveis juntamente com os alunos, como no primeiro dia de aula com a exibição do vídeo com as imagens de fractais, a montagem do fractal escada e os mosaicos criados surpreendentemente pelos alunos durante a aula.
            Outros aspectos metodológicos também devem ser considerados aqui, como os conceitos elaborados pelos alunos durante as aulas, descrevendo de forma madura suas concepções sobre PG, com coerência as aulas do estágio. As aulas sempre tinham uma “pitada” diferente das outras, posso dizer que foi um estágio em movimento, os alunos nunca tiveram a monotonia como sua companheira de classe. Busquei fazer estes movimentos de variadas formas, mas sempre em ligação com as habilidades e restrições que a turma tem. Aulas em duplas, outras em grupos, construção de fractais, construção de conceitos, alunos desenhando em aula de matemática, aula de matemática “invadindo” aulas de artes, aula de matemática com história, a história da matemática, aluno como professor, professor como aluno, etc. Puro movimento!
            Todo este movimento citado anteriormente, não foi criado por mim          , e é importante que isto fique evidente aqui. A própria matemática e suas formas de vida me forneceram estas ferramentas, tendo em vista seus diversos campos de aplicação. Porém cabe ao professor utilizar estes recursos em suas aulas, para que nelas existam movimentos. A matemática não é uma ciência morta. É uma ciência com muita vida!
            Durante a realização deste estágio, ouvi de muitas pessoas que ele seria muito fácil, um conteúdo bom para trabalhar, e que desenvolveria com tranqüilidade. Concordo com os discursos que ouvi, porém, penso que nada faz sentido ter um conteúdo fácil de trabalhar, se o professor ficar acomodado, e pelas facilidades inerentes do conteúdo, não desenvolver uma prática pedagógica instigante para o aluno, com diversidades de metodologia. Penso que um professor com “espírito aventureiro” e com um olhar pesquisador, pode produzir excelentes aulas até mesmo com conteúdos ditos “difíceis de trabalhar”. Considero ser necessário ao professor de matemática atitudes e comportamentos de confiança em sua disciplina. Não é necessário que toda aula seja festa, brincadeira e dinâmica. É preciso que o professor confie mais na sua área, na sua disciplina, e desta forma ele obterá êxito.
            Uma nova história, novos personagens em ação. Sem dúvidas a afetuosidade dos alunos para comigo foram uma marca deste estágio. Eles conseguiram me emocionar durante as aulas, produziram efeitos e afetos em minha vida. Acredito na profissão ao qual estou me formando, e hoje posso seguramente dizer que valeu a pena o investimento feito, mesmo que por enquanto o retorno tenha sido somente em âmbito afetivo e acadêmico. Valeu a pena cada dia que fui a escola, cruzando a cidade de norte a sul, em jornadas de bicicleta de quase cinco quilômetros. Valeu a pena o investimento em cópias, cartazes, papéis, e em outros materiais utilizados, pois o aprendizado foi para a vida. Certamente este estágio valeu a pena!   

Última aula do Estágio de Matemática no Ensino Médio


Última Aula
Data: 13/10/2010
Horário: 16h30min às 17h20min
Número de horas-aula: 1 hora-aula
Tema da aula: Encerramento do Estágio

Nesta aula vou:

·         Questionar os alunos sobre a minha prática pedagógica na escola;
·         Confraternizar com os alunos e relembrar o que foi desenvolvido neste período de estágio.

Metodologia:

            No primeiro momento da aula, entregarei as avaliações realizadas na aula anterior. Farei um breve comentário sobre o desempenho da turma, e sobre as questões da prova juntamente com os alunos.
            Em seguida entrego para os alunos uma folha para a avaliação do estágio. Nesta folha estará presente algumas perguntas, em que buscarei a opinião dos alunos sobre a matemática que aprende na escola, e que aprendeu durante o estágio, quais as relações desta com outras áreas do saber, e também as sugestões e críticas sobre a minha prática pedagógica.
Segundo D’AMBROSIO:
Essa proposta parte da aceitação do fato que o docente está num processo permanente de aprimorar sua prática e nada melhor para isso do ele próprio conhecer seu desempenho por meio de relatórios dos que estão participando dessa prática. Não se trata de dar nota ao professor, aprová-lo ou reprová-lo, mas sim de dar a ele os elementos para analisar sua prática. Da mesma maneira, o professor está interessado em saber o quanto da mensagem que ele pretendia dar aos alunos foi passada e como ela foi compreendida. (D’AMBROSIO, 1996, p. 72)

            Desta forma estarei avaliando como o estágio produziu efeitos nos alunos, que impressões lhe causaram, o que de mais importante lhe chamou a atenção, e de que forma este estágio marcou a sua vida. Sempre pensei que em uma aula, o professor não é um ser neutro, que não está ali somente para “passar” um conteúdo, ele está ali para provocar o aluno, fazer ele pensar, questioná-lo sobre os conceitos, fazer com que ele perceba as regularidades, e saiba operar nesta ciência de forma clara e madura. Neste sentido, acredito que captar as sensações que os alunos tiveram nas aulas através de um relato escrito, se torna uma excelente metodologia, pois possibilita fazer uma análise do que foi compreendido, o que precisa ser mudado, e o que pode ser aprimorado.
            Em um segundo momento da aula, irei apresentar dois vídeos para a turma. O primeiro será um vídeo que fala sobre sonhos. Buscarei passar uma mensagem motivacional para os alunos que fale sobre conquistas, incentivando-os a lutar pelos seus sonhos. O segundo vídeo que será exibido conterá os registros fotográficos do estágio, bem como as atividades desenvolvidas neste período, fazendo assim uma retrospectiva destes 25 períodos em que estive com a turma.
            Ao final da aula, será feita a confraternização de encerramento do estágio.




Considerações do dia:

            Esta última aula do estágio foi muito especial. Foi um dia que certamente ficará marcado na minha trajetória acadêmica. O Encerramento do estágio recompensou todo o esforço e dedicação que empenhei nesta jornada.
            Neste dia, cheguei mais cedo na escola do que o habitual, cerca de uma hora de antecedência, para iniciar a organização do material que iria apresentar para os alunos (vídeos, instalação do data-show e computador), e também, para resolver alguns assuntos com a direção e supervisão da escola, atestado e comprovante de freqüência.
            Para minha surpresa, os alunos tinham se articulado com a professora de Língua Portuguesa, que cedeu o período anterior ao de matemática, para que a turma organizasse a confraternização de encerramento de estágio. Fiquei bastante surpreso com a organização dos alunos, que realizaram um dos momentos mais marcantes de minha trajetória acadêmica.
            Em um primeiro momento da aula, realizei com os alunos a avaliação do estágio. Entreguei aos alunos um questionário em que os alunos deveriam fazer alguns apontamentos sobre minha prática pedagógica com a turma, metodologias adotadas, explicações teóricas e práticas, e o que mais havia marcado para cada um neste período. Além disto, também busquei obter algumas posições dos alunos sobre o que pensam da matemática, esta ciência que tanto dividi opiniões e gostos.
            Ao ler os questionários fiquei bastante surpreso com algumas posições dos alunos. As respostas foram escritas com grande maturidade por parte dos alunos, que não pouparam em escrever o que pensam e o que sentem em relação às perguntas feitas. A primeira questão abordada foi à seguinte: “O que você pensa sobre matemática? Pra que ela serve?”. Muitos alunos se referiram a matemática como sendo uma ciência que auxilia a resolver problemas do cotidiano, como questões financeiras, como podemos perceber nas seguintes respostas:
Eu penso que é uma matéria importante, que todos precisam saber pelo menos o básico para poder conviver. Matemática serve para várias coisas, para contar dinheiro, contar quantas pessoas tem em um lugar, trabalhar, etc...


Tudo envolve pelo menos um pouco da matemática, em geografia para calcular as dimensões de um mapa, na história para poder calcular as épocas. E na nossa vida para calcular por exemplo os metros quadrados de nossa casa.


Eu penso que matemática é importante para a vida, ela serve para tudo, contar o nosso tempo, preço das coisas, etc... em biologia, com os cromossomos da mitose que são 46 que se dividem em duas células com 46 cromossomos. Na nossa vida, com o horário de acordar, estudar, dormir, etc...


Eu acho uma matéria bem interessante. Me ajuda no meu dia-a-dia em vários quesitos. A matemática e o português andam juntos, não há matemática sem a compreensão e interpretação de problemas ou enigmas.


            Porém, houve alunos que demonstraram que não gostam muito da disciplina:
Acho que matemática é uma matéria muito chata. Serve para resolver algumas coisas na nossa vida, mas na maioria das vezes serve para complicar a cabeça.


            Sobre o estágio em específico, os alunos demonstraram interesse pelas atividades desenvolvidas, pela forma que foi realizada a abordagem, e destacaram as diferentes metodologias utilizadas. Também comentaram sobre o padrão das progressões geométricas, que está presente em diferentes áreas:
Gostei bastante, não foi uma aula chata, só com explicação e exercícios, teve slides, construção de fractais.


Foi legal, tivemos aulas diferenciadas, com data-show, montagem e apresentação de fractais. Foi muito legal o dia em que elaboramos o fractal escada.


O estágio foi bem produtivo, eu aprendi bastante, a matéria foi bem explicada. As apresentações sobre fractais foram as que mais gostei, pois vemos em quase todos os cantos, como por exemplo nas plantas.


            Os alunos também descreveram as minhas características enquanto professor, ao responder a seguinte pergunta: “Quem é o Professor Andrios?”
É um professor que sabe explicar bem a matéria. Uma pessoa que aparenta gostar do que faz.


O professor Andrios é uma pessoa legal, explica bem e ele diferencia as aulas de maneira que ela não seja chata, deixando sentar em duplas, grupos.


Ele é muito simpático e legal. Se não entendesse ele explica de novo.


Ah, acho que ele é um cara meio louco por gostar de matemática, mas no mais adorei, acho que ele é uma pessoa que vai ser um ótimo professor.


            E para completar as perguntas “Que tal?”, “Que legal?” e “Que pena?”, os alunos foram bem criativos:
Que legal, o estágio foi bem interessante.
Que pena que acabou.
Que tal ficar dando aula mais tempo?


Gostei muito da matéria, e de como foi apresentada a nós. Não acho que tive nenhum ponto negativo e sugiro que continue atendendo os alunos com a mesma dedicação. Poderia voltar mais vezes.


            Acredito que a partir destas avaliações posso afirmar que este estágio foi marcante não somente para mim, como para todos os alunos envolvidos. É interessante que haja este momento em que o aluno avalia a prática, pois foi a eles que me dirigi durante estes dezesseis períodos, foram eles que receberam as atividades e as realizaram, viveram, sentiram. Portanto é preciso que o professor tenha este cuidado, de captar os sentimentos, as sensações que os alunos tiveram a cada atividade, para que desta forma seja analisado o quanto foi significativo a eles esta prática.
            No segundo momento da aula, entreguei a avaliação realizada na aula anterior, sobre o conteúdo estudado durante o estágio. Comentei com os alunos que tinha ficado bastante satisfeito com o desempenho da turma na avaliação. Também fiz um breve comentário sobre os erros cometidos pelos alunos em algumas questões, como as que envolviam frações, equações exponenciais, e também sobre o erro que mais me chamou a atenção, que foi a questão onde alguns alunos consideraram o ano com apenas três trimestres ao invés de quatro.
            Em seguida exibe um vídeo com mensagem motivacional, que fala sobre sonhos, conquistas e vitórias. Neste momento os alunos ficaram atentos as imagens belíssimas dos pássaros, que se intercalavam a mensagem “Nunca deixe de voar!”. Foi interessante perceber o quanto os alunos se concentraram neste momento, e também se emocionaram com a bela mensagem.
            Dando continuidade a aula, exibi o segundo vídeo, onde fiz uma retrospectiva do que foi desenvolvido durante o estágio. Para isto, digitalizei as atividades desenvolvidas nas aulas, e elaborei um vídeo com as fotos tiradas durante as aulas. Durante a exibição deste segundo vídeo, percebi que os alunos estavam maravilhados com o que foi desenvolvido durante o estágio, e também constatei que eles admiraram o trabalho que realizei com a turma. Ao término do vídeo o ambiente da sala de aula era de muita alegria e satisfação.
            Nesta aula, pude analisar o quanto os alunos dão valor à escola, o quanto dão valor aquele espaço, dão valor as relações com os professores, e desta forma, podem sim, admirar o seu trabalho. Sinto que é necessário que cada vez mais o professor acredite na escola, acredite na educação, e para isto estabeleça relações humanas com os seus alunos, relações de respeito e dedicação com a sua profissão. Desta forma o professor adquire o respeito e a confiança do aluno, pois vê nele uma pessoa que faz o que gosta.
            Em seguida nos encaminhamos para a sala ao lado, onde os alunos haviam organizado um coquetel para o encerramento do estágio. Recebi da turma uma linda cesta e um cartão, e o mais importante, um afetuoso abraço dos alunos. O encerramento do estágio foi marcante, emocionante, inesquecível!

Buscando Caminhos

D’AMBROSIO, Ubiratan – Educação Matemática: da Teoria à Prática. Campinas – SP: Papirus, 1996

Estágio de Matemática no Ensino Médio


Aula 1
Data: 08/09/2010
Horário: 16h30min às 17h20min
Número de horas-aula: 1 hora-aula
Tema da aula: Introdução de Progressões Geométricas – Aspectos Históricos da progressões, e Fractais.

Competências a serem desenvolvidas:

·      Compreender a Matemática como construção humana, relacionando o seu desenvolvimento com a transformação da sociedade.
  • Ampliar formas de raciocínio e processos mentais por meio de dedução, utilizando conceitos e procedimentos matemáticos.
·       Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade, e agir sobre ela.
·         Estimular a comunicação e expressão dos alunos durante a atividade;



Metodologia:

            Nesta primeira aula, farei uma abordagem dos aspectos históricos das Progressões, em especial as Progressões Geométricas. Será discutido como os conceitos de Progressões foram e são utilizados por diversos povos na solução de problemas reais.
            Em seguida, será exibido um vídeo contendo imagens de fractais na natureza, mostrando aos alunos as características de auto-semelhança, dimensionalidade e complexidade infinita. Nesta atividade, questiono os alunos sobre a forma com que os fractais se reproduzem, buscando assim o elo com os conceitos de progressões geométricas (sequências, padrões e razão).
Diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção que servirá de fio condutor para esta aula será a definição Sallum (2005):

Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver um fractal porque é uma figura limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma idéia da figura toda. Seu nome se deve ao fato de que a dimensão de um fractal não é um número inteiro. (Ibidem, p.1)

            Sendo assim, os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Todas estas formas e padrões possuem algumas características comuns e há uma curiosa e interessante relação entre estes objetos e os encontrados na natureza.
            A auto-semelhança é a simetria através das escalas, que consiste em cada pequena função do fractal, é tal qual uma réplica do original, porém numa escala menor. Esta propriedade pode ser vista em variados elementos da natureza.
A prática escolar me permite acreditar que a apresentação de novas formas de abordar conteúdos torna as aulas da disciplina de Matemática mais atraentes e produtivas. Nesse sentido, entendemos que as pessoas precisam sair das escolas, não sabendo somente calcular e escrever, tão pouco sabendo a capital de algum país do outro lado do mundo, precisam sair das salas de aula sabendo questionar, sabendo reconhecer, relacionar, criar, etc.
Para Barbosa (2002) a própria matemática

 [...] fornece ao matemático, ao professor, e é bom que ofereça ao educando, prazeres oriundos de várias formas de pensar e ver, ou de suas próprias ações. Muitas vezes eles emergem de superação de dificuldades; assim é, por exemplo, o estado prazeroso emergente da simples busca com sucesso das raízes na resolução de uma equação ou de uma situação-problema numérica ou geométrica cuja solução leva a encontrar apenas alguns números ou determinados pontos de um plano. (BARBOSA, p. 13, 2002)

            Seguindo estes princípios, a geometria fractal possui um vasto campo de aplicação dos conceitos matemáticos em suas diversas áreas, tais como álgebra, aritmética, geometria plana e espacial, e progressões. Cabe ao educador utilizar dos recursos dispostos pela escola, bem como dos conteúdos curriculares, para inserir este tema em suas aulas e cativar o aluno no aprendizado de conceitos.
Segundo Nunes (2010):
A exploração da geometria fractal, em contexto de sala de aula, proporciona o desenvolvimento das atitudes, dos valores e das competências dos alunos, na medida em que promove a curiosidade e o gosto de aprender, de pesquisar e de investigar; impulsiona a utilização da matemática na interpretação do real, reconhecendo formas e processos que envolvem conceitos matemáticos; ajuda na compreensão dos conceitos de perímetro, área e volume; promove a pesquisa de padrões e regularidades formulando em seguida generalizações em situações diversas, nomeadamente em contextos numéricos e geométricos. (Ibidem, p. 74)


Nesse sentido, esta área da geometria passa a ser uma importante e eficaz metodologia de ensino, visto que possibilita a abordagem e aplicação de vários conceitos, diversificando assim a prática do professor. Propor uma aula com situações novas, onde o educando possa descobrir e fazer relações entre o que visualiza e o que estuda, torna o acontecimento em sala de aula favorável a aprendizagem. Esta abordagem possibilitará ao educando a visualização do conteúdo trabalhado, não ficando apenas na formalidade que é própria da disciplina de matemática. Acredito que

[...] para os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessário ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração, e talvez evidenciando o êxtase na complementação na beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais. (BARBOSA, p. 14, 2002)

Além do campo extenso de aplicações dos fractais é necessário que o professor perceba a potencialidade que existe nesta área da geometria, podendo assim trabalhar conceitos de simetria, relacionando arte com matemática.

Material utilizado na aula:

1º Momento: Aspectos Históricos das Progressões
(Apresentação)
As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos. Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse acontecimento. 


Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da colheita.

E possível encontrar referência as progressões no papiro de Rhind, que data aproximadamente de 1650 a. C. e nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático, que contém 85 problemas copiados em escrita hierática.

O problema 79, por exemplo, cita apenas “sete casa, 49 gatos, 343 ratos, 2041 espigas de trigo, 16 807 hectares”. É presumível que o escriba estava tratando de um problema bem conhecido, em que uma das sete casas havia sete gatos, cada um deles come sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas, cada uma delas teria produzido sete medidas de grão.

Progressão Geométrica formada pelo problema: ( 7 , 49 , 343 , 2401 , ...)

Na doutrina de Darwin também podemos encontrar as Progressões Aritméticas e Geométricas. O Darwinismo – teoria estudada em Biologia, criada por Charles Robert Darwin.
Num dos quatro itens fundamentais da doutrina de Darwin, podemos encontrar uma referência às Progressões Geométricas e Aritméticas, uma influência das idéias de Thomas Malthus, famoso economista. Diz o item: “As populações crescem em P.G. ao mesmo tempo em que as reservas alimentares para elas crescem apenas em P. A.”
Em conseqüência deste item, Darwin afirmou que “devido a tal desproporção, os indivíduos empenhar-se-iam numa luta pela vida, ao final da qual seriam selecionados os mais fortes ou os mais aptos – a seleção natural – de alguns indivíduos em detrimento de muitos outros”.

2º momento: Fractais
(Exibição do vídeo com imagens de fractais na natureza, fractais geométricos e abstratos – 12 minutos)
  
   

Recursos:

·         Data-Show
·         Computador
·         Caixa de som.


Considerações do dia:
            O início deste estágio se deu de forma tranquila, como já estava imaginando, pois no período de observação pude perceber que a turma é excelente, e que poderia desenvolver o que estava planejando sem medo de errar.
            A professora titular da turma me apresentou novamente, e disse aos alunos que durante um mês iria fazer o estágio com a turma. Disse também que era aluno do curso e que já iria se formar em janeiro, portanto, deveriam me respeitar tanto quanto respeitam a ela. Comentou com os alunos que já trabalho com o ensino de matemática a três anos, e que portanto tinha já bastante experiência nos conteúdos que iria abordar. De certa forma fiquei lisongeado com as belas palavras dirigidas pela professora, mas também encarei o estágio com uma grande responsabilidade, pois esta conduz muito bem a turma, e é respeitada pelos alunos.
            Em seguida a professora titular da turma disse aos alunos que iria assistir a aula também, pois ficou bastante interessada pela forma com que seria feita a abordagem nesta primeira aula.
            Assim como estava no planejamento desta primeira aula, iniciei abordando os aspectos históricos das progressões. Falei a turma que quando aluno, era muito interessado em saber o porque estudar todos aqueles conteúdos da matemática, se realmente eram relevantes. Esta sem dúvida foi uma das preocupações que tive ao elaborar a primeira aula deste estágio, pois nada melhor do que mostrar aos alunos que o que é estudado faz sentido de estar sendo estudado, e que a partir destes estudos a sociedade pode evoluir tecnologica, social e culturalmente. Segundo os Referenciais Curriculares do Estado do Rio Grande do Sul (2009):
A História da Matemática e dos matemáticos, relacionada à História do homem, das Ciências e das Artes é um veículo de aprendizagem de matemática. A pesquisa da presença da Matemática em quadros, esculturas nas obras arquitetônicas, na fotografia, no cinema, nos esportes, desenvolve o desejo e o gosto de aprendê-la. (Ibidem, p.44)

            Ao citar meu próprio exemplo quando aluno, percebi que estes qustionamentos não eram somente os meus, mas também de muitos alunos da turma, pois durante o relato que fiz, alguns alunos concordaram comigo salientando as suas angústias com esta disciplina, uma vez que aprendem tantos conteúdos e não sabem pra servem ou serviram.
Durante a apresentação dos aspectos históricos das progressões, pude perceber que os alunos ficaram  “vidrados”, atentos a cada nova informação. Busquei fazer esta abordagem seguindo as orientações dos Referenciais Curriculares de Matemática  em Ensino Médio do Estado do Rio Grande do Sul (2009), pois estes afirmam que:
A história da Matemática permeia todo o trabalho, de tal forma que os alunos possam perceber a Matemática como uma construção histórica em constante evolução, reconhecendo a sua contribuição na interpretação e explicação dos fenômenos das ciências, relacionando os processos matemáticos com as diferentes manifestações artísticas ao longo da história e na atualidade. (Ibidem, p. 193)

            Na sequência da aula, falei aos alunos que durante o estágio iria trabalhar  junto a turma com os fractais. Questionei os alunos se já conheciam, ou já ouviram falar dos fractais. Somente dois alunos se manifestaram dizendo que conheciam os fractais, e que tinham construído alguns em outro ano na disciplina de educação artística. Comentei com os alunos o que são os fractais, como se constituiu a geometrica fractal, e onde podemos encontrá-los. Ao perceber que a sala de matemática da turma fica bem perto da encosta do morro da Borússia, pedi que os alunos olhassem através da janela para a paisagem da mata. Disse aos alunos que um dos exemplos clássicos dos fractais é a folha da samambaia, e que o crescimento da planta e seus galhos segue o padrão fractal.
            Em seguida exibe o vídeo que elaborei com imagens de fractais na natureza, geométricos, abstratos e curiosos. Este momento, inegavelmente foi o auge da aula. Os alunos se encantaram, ficaram impressionados com cada nova imagem que aparecia na tela. Não posso fazer afirmações com ambição de que estas sejam “a” verdade, mas, ver os alunos se alegrarem, esboçando expressões de contentamento e curiosidade com uma atividade de matemática, isto sem dúvida é bastante raro.
            Ao fim da exibição do vídeo, solicitei aos alunos que escrevessem em uma folha de seu caderno o que lhes chamou a atenção nesta primeira aula.
Ao chegar em casa após a aula, estava extremamente curioso para saber o que os alunos tinham escrito sobre a aula e as atividades desenvolvidas. Com alegria posso dizer que iniciei o estágio, e atingi a turma de maneira bastante positiva.
Para a aluna D:
[...] aula foi diferente do que tínhamos antes, foi legal um método diferente de aprender matemática. Uma ótima proposta trazida pelo professor Andrios para chamar nossa atenção.

            Já para o aluno J:
A aula foi interessante, já tínhamos noção do que era a progressão geométrica, mas não sabíamos a história do mesmo. Foi bom para conhecer os fractais, pois são uma representação da arte com a matemática.

            Assim como o aluno J escreveu, tanto o professor quanto o aluno devem aliar com conhecimentos em matemática com outras áreas da educação. Para os Referenciais Curriculares do Estado do Rio Grande do Sul (2009):
É preciso que ele aprecie a arte na Matemática e a Matemática na arte e seja capaz de, com sensibilidade, mostrá-la em sua beleza, bem como em seu valor, tanto como um patrimônio cultural da humanidade em constante construção, como algo indispensável para a sua vida. (Ibidem, p. 45)

            A aluna G escreveu:
[...] achei muito interessante esse assunto e estou anciosa para começar a aprender P.G.. Gostei muito das imagens e dessa explicação simplificada. Gosto desse tipo de aula, com apresentação em vídeo, acho que poderia mesclar as aulas normais com apresentações de vídeo ou outras atividades.

            Para a aluna A:
Apesar de eu não gostar de matemática, a aula de hoje eu achei bem interessante, curiosa... Uma forma bem legal de dar aula. E eu nunca havia ouvido falar de fractais.

            Dois relatos se destacaram por conter alguns mitos sobre o ensino, principalmente o ensino de matemática. Considerei bastante curiosos os relatos feitos pelos alunos K:
Foi interessante o assunto dos fractais, pois não foi uma aula só no quadro e na apostila, com a apresentação do vídeo consegui entender bem com as imagens.

            e W:
O vídeo apresentado na aula foi bastante interessante, como é matemática se espera uma coisa tediosa, mas foi bem legal, simples de entender.

            É importante que o aluno veja a matemática em outras áreas, e pare de pensar que esta é uma ciência pronta, e principalmente difícil. É notório nos relatos feitos pelos alunos que a matemática é vista apenas como algo abstrato, distante de nossa realidade. Além disto a matemática é vista como uma disciplina de teoria, pois muito lhes causou expanto uma aula utilizando recursos incomuns para a disciplina, e abandonando outros já tão clássicos.




Aula 2
Data: 10/09/2010
Horário: 14h às 15h30min
Número de horas-aula: 2 horas-aula
Tema da aula: Termo geral das Progressões Geométricas

Competências a serem desenvolvidas:

·         Selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema.
·         Promover atividades em grupo, possibilitando a interação e a troca de conhecimentos;
·         Obter sequências geométricas a partir do conhecimento do termo geral;
·         Obter o termo geral de uma sequência numérica a partir de um padrão de identificação de regularidade existente;
·         Reconhecer a existência ou não de padrões de regularidade em uma sequência numérica e geométrica;
·         Identificar e calcular a razão e qualquer termo de uma P.G.

Metodologia:

            A partir das imagens dos fractais triângulo, tapete e pirâmide de Sierpinski, construirei os conceitos de progressões geométricas. Farei a formalização do termo geral de uma P.G. utilizando tabelas onde os alunos preencherão o número de figuras formadas a cada interação. O resultado destas tabelas produzirá sequências de números em P.G.. Farei estas abordagens por entender que:
Ao planejar as ações da sala de aula, é fundamental que o professor tenha segurança para selecionar experiências de aprendizagens ricas e diversificadas que proporcionem o desenvolvimento das habilidades e competências para ler, escrever, bem como para analisar e resolver problemas, para raciocinar e comunicar suas idéias e descobertas, tendo presentes os conceitos e os modos de pensar da Matemática. (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 44)

            Em seguida aplicarei exercícios que utilizem a fórmula do termo geral de uma P.G..


Material utilizado na aula:

1º momento: Fractais na construção do termo geral de uma P.G.
Triângulo de Sierpinski


Etapa
Nº de triângulos gerados
1

2

3

4

5

....
....
n



q =
(           ,           ,           ,           ,           , .........)

Tapete de Sierpinski


Etapa
Nº de quadrados gerados
1

2

3

4

5

....
....
n



q =
(           ,           ,           ,           ,           , .........)

Pirâmides de Sierpinski



Etapa
Nº de tetraedros gerados
1

2

3

4

5

....
....
n




Termo Geral de uma P.G.

            Observando as regularidades e os padrões de cada fractal, deduziremos a fórmula do termo geral de uma P.G., onde:
·         n é o número de etapas;
·         a1 é o primeiro termo;
·         q é a razão da sequência;
·         an é o elemento da sequência que ocupa a posição n.
a1 = 1º termo desta sequência;
a2 = a1 . q
a3 = a1 . q . q                         ou         a3 = a1 . q2
a4 = a1 . q . q . q                     ou         a4 = a1 . q3
a5 = a1 . q . q . q . q               ou         a5 = a1 .q4
an = a1 . q(n-1)


Considerações do dia:

            Neste segundo dia de estágio considero que novamente atingi meus objetivos. Assim como na aula anterior consegui atingir os alunos e fazê-los pensarem, construindo em conjunto os conceitos e formalizando-os a cada atividade.
Primeiramente tive a preocupação de fazer um elo com os assuntos abordados na aula anterior, principalmente porque os fractais “mexeram” com os alunos. No primeiro momento da aula, entreguei uma folha para cada aluno contendo três fractais geométricos já exibidos na aula anterior (triângulo, tapete, e pirâmide de Sierpinski). Com o auxílio de imagens destes fractais (livro construído por mim), solicitei aos alunos que reproduzissem na folha as interações de cada imagem, exceto a pirâmide. Em seguida, instiguei os alunos a analisarem as regularidades presentes nas sequências de figuras geradas a cada interação do fractal. Busquei esta abordagem por entender que:
As situações-problema devem estar presentes em atividades de investigação, em que os alunos procuram regularidades, fazem e testam conjecturas e desenvolvem autonomia para criar soluções, para generalizar conceitos e procedimentos matemáticos (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 44)

            Nesta atividade os alunos conseguiram perceber as regularidades presentes em cada fractal, analisando a formação de uma sequência de números que seguiam um padrão, o padrão das progressões geométricas. Ao visualizarem a pirâmide de Sierpinski, os alunos ficaram maravilhados com a beleza deste fractal.
            Na esteira destas atividades com fractais, fiz a formalização do termo geral de uma P.G., demonstrando aos alunos como podemos obter qualquer termo desta progressão a partir da fórmula. Esta foi a minha segunda preocupação para aula, não deixar com que a fórmula parecesse ter “caiu do céu”. A formalização do termo geral da P.G. a partir de dados coletados das imagens dos fractais e tabulados pelos próprios alunos, fez com que a aula se tornasse bastante produtiva e interessante. Nesta perspectiva
Uma coisa é certa, não é recomendado despejar, logo de cara, um caminhão de algoritmos repleto de letras. A generalização, algo essencial para o entendimento dos conceitos algébricos, não nasce do acúmulo de evidências pontuais em exemplos. Em vez disso, é mais adequado propor atividades em que a própria turma identifique essas regularidades partindo das operações já conhecidas. (MARTINS, 2009, p 63)

            Sendo assim, posso afirmar que a aula proporcionou aos alunos momentos de construção, investigação, questionamento, e sem dúvida de trocas de conhecimento, pois os alunos trabalharam em duplas, podendo assim se comunicar e expressar suas descobertas a cada momento.
            Na sequência da aula, os alunos realizaram os exercícios propostos, sempre sob o meu atento olhar. Alguns alunos conseguiram realizar os exercícios com maior facilidade, outros necessitavam de auxílio em uma ou outra etapa, mas penso que não houveram grandes problemas. Destaco neste relato a grande dificuldade dos alunos em trabalhar com as frações, eternas “vilãs da matemática”. Sempre que as frações apareciam nas questões como sendo a razão da progressão, os alunos pediam para representar o valor em forma de número decimal. A orientação que eu os passei sobre esta dúvida foi a seguinte:

Podem utilizar o número decimal para a representação da razão e dos termos da P.G. até porque o resultado é correto, a sequência será certa. Porém é necessário que assim como sabem converter o número fracionário para decimal, é importante que saibam fazer o caminho inverso. Mas é necessário que vocês superem este medo de operar com fração.

           
            Durante a correção no quadro das questões, decidi resolvê-las sempre utilizando a representação fracionária, e dei bastante ênfase para as operações com frações, buscando sanar estas dúvidas dos alunos.


Aula 3
Data: 15/09/2010
Horário: 16h30min às 17h20min
Número de horas-aula: 1 horas-aula
Tema da aula: Termo geral das Progressões Geométricas

Competências a serem desenvolvidas:

·         Promover atividades em grupo, possibilitando a interação e a troca de conhecimentos;
·         Obter sequências geométricas a partir do conhecimento do termo geral;
·         Obter o termo geral de uma sequência numérica a partir de um padrão de identificação de regularidade existente;
·         Reconhecer a existência ou não de padrões de regularidade em uma sequência numérica e geométrica;
·         Identificar e calcular a razão e qualquer termo de uma P.G.

Metodologia:

            Nesta aula construirei juntamente com os alunos o Fractal Escada, um fractal simples, construído a partir de dobraduras. Analisarei com os alunos o padrão fractal presente na dobradura, a sequência de números em progressão geométrica, e também buscarei com os alunos encontrar a razão desta progressão.
Em seguida serão realizados exercícios sobre o termo geral de uma PG, dando sequência ao estudo da aula anterior.

Material utilizado na aula:

1a Atividade:  Construção de um Fractal numa Folha de Papel
 Material:
·         Folha de papel A4
·         Tesoura
 Instruções:
1.    Meça o comprimento da folha ( = a );
2.    Meça a largura da folha ( = b ) ;
3.    Dobre a folha de papel ao meio;
4.    Faça 2 cortes de comprimento a/4 afastados de cada lado do papel b/4;
5.    Dobre segundo o segmento criado pelos dois cortes;
6.    Repita os passos 1 - 5, mas agora para a parte da folha que acabou de dobrar;
7.    Continue o processo o máximo de vezes possíveis;
8.    Dobre a folha A4 formando um ângulo reto;
9.    Dobre a parte da folha obtida no passo 5, de modo a formar um ângulo reto com a dobra do passo 8 ;
10. Repita o passo 9 para as outras partes da folha ;



Observe a figura acima e responda:

a)    Qual é a PG formada pelo número de degraus de mesmo tamanho?

b)    Qual é a razão deste fractal?

c)     Determine o número total de degraus deste fractal na etapa 5.

Considerações do dia:

            Nesta aula, iniciei construindo o fractal escada com os alunos. Decidi inserir esta atividade no planejamento, tendo em vista que alguns alunos pediram para construir fractais durante o estágio, após terem visto a pirâmide de Sierpinski, utilizada na aula anterior.
            Esta atividade de construção foi bastante interessante, pois pude perceber como acontece o trabalho em grupo na turma. Os alunos que conseguiam construir o fractal com maior facilidade auxiliavam os colegas mais próximos, e que encontravam dificuldades no processo de construção.
            Durante esta atividade, me dirigi à turma demonstrando o passo a passo da construção do fractal, auxiliei os alunos em grupos, e também quando solicitado, individualmente. Os alunos não conheciam este fractal, portanto a construção foi um pouco demorada.
Após a construção do fractal escada, os alunos C e G construíram alguns mosaicos, também bastante interessantes, obtidos através de simples cortes em uma folha de papel dobrada (bastante parecido com o fractal escada). Segundo os alunos, eles aprenderam a fazê-los em uma aula de educação artística na oitava série do ensino fundamental, em uma aula sobre mosaicos. Solicitei aos alunos que mostrassem suas construções para a turma, e após me dessem eles para que guardasse juntamente com meus materiais de estágio.
            Em seguida analisei juntamente com a turma os mosaicos construídos pelos alunos, e percebemos que a construção do aluno C produziu uma PG, através do número de losangos gerados a cada dobradura no papel. Na primeira etapa, há 10 losangos, na segunda 20, na terceira 40, e na oitava etapa 80, formando assim uma PG de razão 2. Já o mosaico construído pela aluna G não produziu uma PG, mas destaquei a beleza da figura criada por ela.
São nestes momentos que vemos como estar em sala de aula é algo surpreendente, e acima de tudo muito gratificante, pois os alunos trazem os seus conhecimentos, as suas linguagens, as suas maneiras de se expressar e a sua criatividade. É necessário que o professor esteja sempre aberto ao diálogo, e acima de tudo, incentive o seu aluno, dando espaço para que suas potencialidades sejam desenvolvidas e expressadas em aula. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (2000) é necessário que
[...] a educação seja comprometida com o desenvolvimento total da pessoa. Aprender a ser supõe a preparação do indivíduo para elaborar pensamentos autônomos e críticos e para formular os seus próprios juízos de valor, de modo a poder decidir por si mesmo, frente às diferentes circunstâncias da vida. Supõe ainda exercitar a liberdade de pensamento, discernimento, sentimento e imaginação, para desenvolver os seus talentos e permanecer, tanto quanto possível, dono do seu próprio destino. (Ibidem, p. 16)

Percebi durante esta atividade que a escola nos dispõe um espaço precioso para troca de saberes, de informações, e que não somos nós professores, os detentores do saber e da informação. Somos nós, professores, apenas os mediadores deste processo, e devemos sempre estar instigando nossos alunos a produzirem e também trazerem os seus conhecimentos para a sala de aula, exercitando assim a sua criatividade, potencializando a sua própria aprendizagem.
Para esta aula, construí o fractal escada em um cartaz grande, para auxiliar a visualização dos alunos, nos processos de construção. Novamente os alunos ficaram encantados com a beleza do padrão de repetição dos fractais. Percebendo o interesse da turma pelo o assunto, sempre busquei analisar os fractais como objetos de estudo matemático, encontrando nestes, padrões e regularidades que dêem suporte ao estudo do conteúdo. Penso que o retorno tem sido positivo, visto que a turma tem assimilado bem os conceitos de progressões, e principalmente, tem visualizado estes conceitos.
            Valendo-se deste processo de construção dos conceitos de progressões (especificamente as progressões geométricas que enfatizei nas primeiras aulas do estágio com as atividades envolvendo os fractais), iniciei já ao final da aula, uma série de exercícios que irão abordar o termo geral de uma P.G..
            Senti que alguns alunos da turma ainda vêem o ensino utilizando recursos “tradicionais”, como o dito correto, como o legítimo. Percebi o estranhamento de alguns alunos com as atividades deste estágio. Isto me faz acreditar que para alguns alunos o ensino não pode trazer inovações, e que uma aula de matemática “deve” ser cheia de formalidades. Nestes momentos percebo o quanto a educação ainda é regrada, presa em “grades” curriculares, e mediante a isto, os alunos acabam não enxergando que a matemática (assim como outras áreas do saber) tem tanta vida.
            Ao final da aula, fiz a correção dos exercícios propostos, porém como sempre acontece no último período, a metade da turma se retirou ainda faltando quinze minutos para o término da aula, para pegar o transporte escolar.


Buscando Caminhos

BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002.

NUNES, Raquel Sofia Rabelo. Geometria Fractal e Aplicações. Dissertação de Mestrado. Departamento de Matemática Pura - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 2006.
Disponível em:
Acesso em: 19 de agosto de 2010

RIO GRANDE DO SUL, Secretaria de Estado da Educação. Departamento Pedagógico. Referenciais Curriculares do Estado do Rio Grande do Sul: Matemática e suas tecnologias/Secretaria de Estado da Educação. Porto Alegre: SE/DP. 2009.

SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. Revista do Professor de Matemática. Nº 57, 2ºquadrimestre de 2005

MARTINS, Ana Maria; VICHESSI, Beatriz – Tirando de Letra. Revista Nova Escola. São Paulo, n.224, p.62-65, 2009
Material para construção do Fractal Escada disponível em:
Acesso em: 12 de setembro de 2010

BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino Médio) – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, 1999
Disponível em:  portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf
Acesso em: 23 de maio de 2010

Imagens: Google Imagens

http://www.youtube.com/user/Andriosbemfica?feature=mhum
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