sábado, 31 de março de 2012

O trânsito de Vênus e o MRU

             Esta foto de múltipla exposição foi tirada no dia 8 de junho de 2004. Nesse dia foi possível ver da Terra o pequenino planeta Vênus passar na frente do sol, fenômeno conhecido como “trânsito de Vênus”. Apesar de o movimento orbital de Vênus ser praticamente circular, essa passagem pode ser considerada um movimento retilíneo uniforme (MRU), pois ela ocorre em um trecho pequeno. Isso fica evidente pelas distâncias iguais entre as posições de Vênus, fotografadas em intervalos de tempos iguais (na fotografia, são os pequenos círculos escuros que aparecem em linha reta sobre o círculo claro maior, o Sol).

O movimento retilíneo uniforme é o movimento mais simples que pode existir; tem apenas duas variáveis, a posição e o tempo, mas mesmo assim seu estudo é importante, pois ele nos prepara para compreender movimentos mais complexos.


Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)

Quando o ponto material em trajetória retilínea se move com velocidade constante em relação a determinado referencial, seu movimento é retilíneo uniforme (MRU). No MRU não há diferença entre velocidade média e instantânea, não existe aceleração e a única grandeza que varia com o tempo é a posição. Assim, o estudo do movimento retilíneo uniforme do ponto material se resume ao estudo da variação da posição desse ponto material com o tempo.

Como a velocidade não sofre variações, o móvel terá deslocamentos iguais em intervalos de tempos iguais

Na figura abaixo está representado um MRU de velocidade 5m/s.


Para aprender um pouco mais sobre o MRU, baixe em seu computador o aplicativo The Moving Man. Este aplicativo está disponível no site da Universidade do Colorado, e é um excelente simulador dos movimentos retilíneos. Nele pode-se estudar o MRU e MRUV e seus gráficos.


Mova o homenzinho de lá para cá com o mouse e trace o seu movimento, ou ajuste a sua posição inicial, sua velocidade, e aceleração e deixe a simulação mover o homem para você.



terça-feira, 13 de março de 2012

Notação Científica

          Números muito pequenos e muito grandes são freqüentes em estudos científicos e medições de grandezas, permeando várias áreas do conhecimento, com Física, Química, Astronomia, Biologia, Meio Ambiente, etc.

Observe alguns exemplos:

·         A massa do planeta Terra é de 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg.

·         A distância entre a Terra e a Lua é de 384 000 000 m

·         A massa de um próton é de 0,000000000000000000000000001673 kg

·         O nível máximo de ozônio (O3) tolerado para que a quantidade do ar seja considerada boa é de 80 g/m³, isto é, em cada metro cúbico (m³) de ar podemos ter, no máximo, 0,00008 g de ozônio.

A leitura desses números é facilitada quando são escritos em notação científica. Basicamente, trata-se de escrevê-los como o produto de um número real a e uma potência de base dez e expoente inteiro.

Nessa notação, os números são escritos da seguinte forma:
a . 10n
·         a: um número compreendido entre 1 e 10

·         n: expoente inteiro.
Observe alguns exemplos:

1º Caso: O número é muito maior que um.

136 000  =  1,36 . 105

Exemplos:

2 000 000  =  2 . 106                  

33 000 000 000 = 3,3 . 1010                    
547 800 000 = 5,478 . 108



2º caso: O número é muito menor que um.

0,000 000 412 = 4,12 . 10-7                            
Exemplos:

0,0034 = 3,4 . 10-3                    
0,0000008 = 8 . 10-7                         
0,0000000000517 = 5,17 . 10-11


Quando escrevemos um número em notação científica é possível conhecer, rapidamente, sua ordem de grandeza. Voltemos aos exemplos iniciais:

·         A massa do planeta Terra é de 5,98 . 1024 kg

·         A distância entre a Terra e a Lua é de 3,84 . 108 m

·         A massa de um próton é de 1,673 . 10-27 kg

·         A massa de ozônio tolerada em 1m³ de ar é de 8 . 10-5 g


Um pouco de história
A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia, no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia seriam necessários para preencher o universo. O número estimado por ele foi de 1 . 1063 grãos.


Numeração Egípcia

 
Vale a pena conferir!
No Livro Matemática Mortífera, de Kjartan Poskitt, leia o capítulo intitulado “Como lidar com números grandões”. Você vai aprender bastante sobre notação científica, além de se divertir, é claro!
Sinopse do livro:
Agora se prepare para Matemática Mortífera! Ela é mortalmente divertida, letalmente interessante e, o melhor de tudo, Não tem exercícios asquerosos nem cálculos chatos! Descubra como a ciência dos números pode ajudar você a resgatar alguém que esteja correndo um perigo mortal, como não se matar com um tiro de canhão, e conheça alguns matemáticos famosos que foram realmente durões (e até mesmo alguns que foram assassinados).

sábado, 3 de março de 2012

Conectando ideias com a matemática II – Aplicações da Função Afim

Valor pago pela conta de luz em função do consumo


Analise a relação existente entre o valor pago por um usuário em reais e consumo de energia elétrica em kWh, num determinado mês. Construa a tabela e o gráfico analisando-os (não esqueça a tarifa fixa de contribuição para iluminação pública).


O preço a pagar em função da quantidade de açúcar comprado
Dona Ana vai ao supermercado para comprar açúcar refinado, o preço do kg é R$3,29.
a)      Existe uma relação entre o preço a pagar e a quantidade de quilos de açúcar comprada?
b)      O preço do quilo do açúcar “depende” de quanto vou pagar?
c)      O preço que vou pagar “depende” da quantidade de açúcar que eu comprarei?
d)      Qual a expressão matemática que me permite relacionar o preço do açúcar com a quantidade comprada?
e)      Qual a variável dependente?
f)       Qual a variável independente?
g)      É possível fazer um gráfico par demonstrar essa relação?

A área a ser pintada em função do dia
Um pintor foi contratado para pintar uma parede cuja área é 240m². A tabela mostra o quanto ainda falta para ser pintado no final de cada dia.
a)      A área da parede a ser pintada tem relação com o número de dias?
b)      Quando os dias passam, o que acontece com a quantidade de área a ser pintada?
c)      Quantos dias o pintor levou para terminar o serviço?
d)      Faça um esboço do gráfico desta função.

O valor da corrida de táxi em função do quilômetro rodado
Em uma certa cidade, o preço de um corrida de táxi é calculado do seguinte modo:
·         A “bandeirada” é de R$2,50
·         A cada km percorrido o preço é de R$0,80
a)      Escreve uma fórmula matemática que represente a situação:
b)      Para uma corrida de 30km, quanto se gastará?
c)      Faça um esboço do gráfico da função.

O valor pago pelo aluno em função do número de meses
Uma escola de natação cobra de seus alunos uma matrícula de R$80,00, mais uma mensalidade de R$50,00. Determine:
a)      A função que representa o gasto de um aluno em relação aos meses de aula.
b)      Quanto gastou um aluno nos seis primeiros meses de aula?
c)      O gráfico dessa função, admitindo que o curso seja de 12 meses.

O valor pago pelo estacionamento em função da permanência
Num estacionamento, o preço a pagar é calculado da seguinte maneira:
·         A primeira hora custa R$2,00
·         As horas seguintes custam R$1,00 cada
O preço a pagar pelo estacionamento é dado por qual fórmula matemática?
Custo total em função da produção
Na fabricação de um determinado artigo verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$50,00 por unidade. Determinar:
a)      A função que representa o custo total em relação à quantidade produzida.
b)      O gráfico da função.
c)      O custo de fabricação de 15 unidades.

O valor gasto em função da produção
(F.Santo André – SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y), por uma empresa, na produção de óleo varia com a quantidade de óleo produzida (x). Assim, podemos afirmar que:

a)      Quando a empresa não produz nada, não gasta nada.
b)      Para produzir 2 litros de óleo a empresa gasta R$76,00
c)      Para produzir 1 litro de óleo a empresa gasta R$ 54,00
d)      Se a empresa gasta R$170,00, então ela produz 5 litros de óleo.
e)      Para fabricar o terceiro litro de óleo, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

Gasolina no tanque em função dos quilômetros rodados.
Abasteci meu carro. Coloquei 20 litros de gasolina e zerei o marcador da quilometragem no momento que sai do posto de gasolina. Sei que meu carro anda 10km por litro de gasolina. Vamos analisar quantos quilômetros andarei com essa quantia abastecida:
Vamos construir um gráfico para melhor analisar essa situação:





 
Questões propostas: 
a)      Quantos quilômetros percorrerá o automóvel com 20 litros de gasolina?
b)      Com 5 litros de gasolina, quantos quilômetros percorrerá?
c)      Quando restar 5 litros de gasolina no tanque, quantos quilômetros terá percorrido?
d)      Qual a expressão matemática que representa essa função?

quinta-feira, 1 de março de 2012

Um pouco de história - Gauss e o seu raciocínio brilhante

            Uma das histórias mais fascinantes envolvendo progressões é a do matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado o maior matemático do século XIX e um dos maiores de todos os tempos, juntamente com Arquimedes e Isaac Newton. Filho de família pobre, seu pai tentou evitar que recebesse instrução adequada. Gauss, porém, contou com o apoio da mãe, para que pudesse estudar.

A precocidade de Gauss, tido como uma criança prodígio, pode ser exemplificada por um fato interessante ocorrido em sua infância. Aos 10 anos, Gauss freqüentava uma escola local, na qual o professor era tido como muito exigente. Certo dia, com a intenção de manter a turma em silêncio, pediu aos alunos que somassem os números naturais de 1 a 100 (1+2+3+...+100) e, assim que terminassem, colocassem a solução sobre sua mesa. Quase que imediatamente, Gauss colocou sobre a mesa do professor a resposta encontrada. Ele olhou para o menino com pouco-caso, enquanto os demais alunos trabalhavam arduamente. Quando conferiu os resultados, o professor verificou que a única resposta correta era a de Gauss, 5.050, mas sem fazê-la acompanhar de nenhum cálculo.

Gauss havia feito o cálculo mentalmente, observando que a soma do primeiro e do último termo (1+100), do segundo e do penúltimo termo (2+99), do terceiro e do antepenúltimo (3+98), e assim por diante era sempre 101, ou seja:



A soma dos números naturais de 1 a 100 é dada por 50 . 101 = 5.050, cálculo que resultou na fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.   
Utilizando o mesmo procedimento realizado por Gauss, calcule a soma dos 100 primeiros números pares positivos.


Nas palavras de Gauss:
"Verdadeiramente o que mais prazer me proporciona, não é o saber mas o estudar, não a posse mas a conquista, não o estar aqui mas o chegar além."
Carl Friedrich Gauss

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